Durchschlagender Erfolg für Innsbrucker Mathematik

Seit mehreren Jahren beschäftigt sich die Gruppe um Prof. Hauser mit der Untersuchung von Singularitäten algebraischer Flächen und Varietäten. Singuläre Flächen sind geometrische Objekte, die mit Ausnahme einiger weniger Punkte glatt wie die Oberfläche von Seifenblasen sind. Diese Ausnahmepunkte werden als Singularitäten bezeichnet. Dort können sich die Varietäten selbst durchdringen, Kanten bilden oder zu Spitzen zusammenlaufen. Heuristisch gesehen entsprechen Singularitäten Punkten, wo im weitesten Sinn Katastrophen passieren (Bild 1). Die auftretenden Flächen und Varietäten entsprechen Lösungsmengen polynominaler Gleichungssysteme in mehreren Variablen, die in Naturwissenschaft und Technik allgegenwärtig sind. Die Theorie findet unter anderem Anwendung bei der Konstruktion eines Roboterarms, der bestimmte Positionen erreichen soll, bei der Berechnung der Wölbung von Zähnen auf den Zahnrädern eines Getriebes oder hilft bei der Suche nach optimalen Formen für die Hohlspiegel von Autoscheinwerfern.

Wichtiger Satz der algebraischen Geometrie

Die theoretischen Hintergründe der Singularitätentheorie wurden von dem japanischen Mathematiker Heisuke Hironaka revolutioniert. In den sechziger Jahren bewies er in einer Aufsehen erregenden, zweihundert Seiten langen Arbeit, dass jede Varietät mit Singularitäten der Schatten eines Gebildes ohne Singularitäten in einem höherdimensionalen Raum ist. Anschaulich entstehen Singularitäten - sprich Katastrophen -, weil eine Varietät zu wenig Platz hat, sich auszubreiten (Bild 2). Hironaka's Satz über die sogenannte Auslösung von Singularitäten gilt als eines der wichtigsten und schwersten Resultate der algebraischen Geometrie. Für seine Arbeit erhielt Hironaka 1970 die Fields-Medaille, eine Art Nobelpreis für Mathematiker, die nur alle vier Jahre für besonders herausragende Leistungen vergeben wird.

Radikale Vereinfachung des Beweises gelungen

Der Forschungsgruppe um Herwig Hauser gelang es zusammen mit Santiago Ercinas von der Universität Valladolid, Hironaka's Beweis radikal zu vereinfachen. Der Beweis wurde auf eine Zehntel der ursprünglichen Länge gekürzt und wesentlich transparenter strukturiert. Die betreffende, etwa 20 Seiten lange Arbeit, sowie eine Arbeit über die Hintergründe des Beweises erschienen kürzlich in den renommierten mathematischen Fachzeitschriften Commentarii Mathematici Helvetici und im Bulletin der American Mathematical Society. Einladungen zu Vorträgen dokumentieren ebenfalls die Bedeutung der Innsbrucker Ergebnisse in der Fachwelt. "Der Artikel von Herwig Hauser behandelt jenen Satz, den viele als den schwersten der ganzen Mathematik betrachten: die Auflösung der Singularitäten in Charakteristik Null von Hironaka. Ich bin davon schon sehr beeindruckt", schreibt Prof. John Horváth von der University of Maryland in den USA. Dass am Innsbrucker Institut für Mathematik weiter intensiv an der Lösung wichtiger ungeklärter Fragen der Singularitätentheorie gearbeitet werden kann, ist nicht zuletzt dem Wissenschaftsfonds (FWF) zu verdanken, der die Forschung von Prof. Hauser und seinen Mitarbeitern im Rahmen eines Forschungsprojekts finanziell unterstützt. (cf)