Inhalt: Auf dieser Seite finden Sie das Applet Cholesky-Zerlegung und Informationen zu seiner Bedienung. Mit dem Applet können Sie die Cholesky-Zerlegung und die rationale Cholesky-Zerlegung berechnen.
Applet
Literaturhinweise
- P. Deufelhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik I, de Gruyter, 1993 (2. Auflage).
Hilfe zur Bedienung
Falls Sie das erste Mal mit diesem Applet arbeiten, wählen Sie am besten ein Beispiel aus der Listbox Beispiel laden aus. Anschließend können Sie durch mehrmaliges Drücken des Buttons vor für die ausgewählte Matrix die rationale Cholesky Zerlegung berechnen.
Optional können Sie auch alle Daten von Hand eingeben oder die eines Beispieles abändern. Die Beschreibung dazu finden Sie im folgendem Text. Der Reiter Daten dient zur Eingabe und zur Steuerung des Applets.
- Beispiele: Beim Klicken auf eines der Beispiele werden die Daten für verschiedene Matrizen übernommen. Die Matrix wird in den Reitern rationale Cholesky Zerlegung und Cholesky Zerlegung gesetzt.
- Leere Matrix erzeugen: Es kann eine Matrix, die mit Nullen initialisiert wird, erzeugt werden. Im Eingabefeld Dimension kann die Dimension der Matrix festgelegt werden. Wie Sie die Werte der Matrix ändern, finden Sie hier.
- Schritt:
- Vor: Es wird der nächste Schritt der Zerlegung ausgeführt.
- Zurück: Der zuletzt ausgeführte Schritt wird rückgängig gemacht.
- Zerlegung berechnen: Berechnet die Zerlegung der Matrix
Kann man in einer Matrix Elemente auswählen, so kann man für diese Matrix die Einträge verändern. Wählen Sie dazu einen Eintrag der Matrix aus und klicken Sie mit der linken Maustaste.
- Werte setzen: Wurde noch kein Schritt durchgeführt, so können die Einträge der Matrix geändert werden. Es erscheint ein Dialog zum Setzen des angezeigten Wertes. Es können ganze Zahlen (z.B.: 5), rationale Zahlen (z.B.: 5/2) und Dezimalzahlen (z.B.: 2.5) eingegeben werden.
- << und >> Ermöglichen die Navigation in der Matrix.
- OK: Beendet die Eingabe.
Um die rationale Cholesky Zerlegung einer Matrix zu berechnen, wählen Sie den Reiter rationale Cholesky Zerlegung . Es wird Schritt für Schritt die rationale Cholesky Zerlegung berechnet, indem die Elemente außerhalb der Hauptdiagonale sukzessive, durch elementare Zeilenumformungen, eliminiert werden.
Für die Berechnung der rationalen Cholesky Zerlegung müssen die Elemente der Hauptdiagonale während der Berechnung ungleich Null sein. Ist dies nicht der Fall, wird eine Fehlermeldung ausgegeben. Außerdem muss die Matrix symmetrisch sein. Um die Cholesky Zerlegung einer Matrix zu berechnen, wählen Sie den Reiter Cholesky Zerlegung. Die Zerlegung einer Matrix A wird mit Hilfe des rechts abgebildeten Algorithmus berechnet. Es ist möglich die Cholesky Zerlegung ohne zusätzlichen Speicheraufwand zu berechnen. Zum besseren Verständnis werden jedoch ein Vektor und 2 Matrizen zur Darstellung verwendet.
- D ... Vektor, der die Hauptdiagonale von A enthält. Er wird für die Berechnung der Zerlegung nicht benötigt, jedoch ermöglicht er, mit der oberen Dreiecksmatrix von H, die Rekonstruktion von A.
- H ... Hilfsmatrix. Zu Beginn ist H gleich A. Auf diese Matrix wird Schritt für Schritt die Zerlegung angewandt. Die berechneten Elemente der Cholesky Zerlegung werden, aus Gründen der Übersichtlichkeit, aus der Matrix H entfernt und in die Matrix C eingefügt. Die eingerahmten Elemente der Matrix werden im nächsten Schritt der Zerlegung verändert.
- C ... untere Dreiecksmatrix. Diese Matrix ist mit Nullen initialisiert und enthält schließlich die Cholesky Zerlegung von A. In jedem Schritt wird der eingerahmte Wert berechnet.
Zur Berechnung der Cholesky-Zerlegung ist eine symmetrische positiv definite Matrix vorausgesetzt. Ist dies nicht der Fall, wird eine entsprechende Fehlermeldung ausgegeben.
Falls Sie weitere Fragen zum Applet haben, uns Hinweise auf Fehler oder Kommentare zukommen lassen wollen, schreiben Sie uns bitte.
Finanziert mit Projektmitteln
der Universität Innsbruck
Abteilung für Neue Medien und Lerntechnologien