Gauß-Elimination

Universität Innsbruck
Institut für Mathematik

 Alexander Ostermann
Christian Reisecker
 


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Inhalt: Auf dieser Seite finden Sie das Applet Gauß und Informationen zu seiner Bedienung. Mit dem Applet können Sie lineare Gleichungssysteme der Form Ax=b lösen, Matrizen mit elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen auf Dreiecksgestalt bringen, Matrizen invertieren, sowie eine LU-Zerlegung durchführen. Die Gleichungssysteme werden gelöst. Falls deren Lösung nicht eindeutig ist, wird zusätzlich zu einer partikulären Lösung auch eine Basis der Kerns angegeben. Weiters werden verschiedene Kenngrößen der Matrizen ermittelt.

Applet

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Literaturhinweise

  • K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer Verlag, 2001.
  • G. Strang: Lineare Algebra, Springer Verlag, 2007.
  • G. Strang: Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, 2003.

Hilfe zur Bedienung

Falls Sie das erste Mal mit diesem Applet arbeiten, wählen Sie am besten ein Beispiel aus der Listbox Beispiel laden aus. Anschließend können Sie durch mehrmaliges Drücken des Buttons vor die ausgewählte Matrix auf Dreiecksgestalt bringen. Besitzt das Gleichungssystem eine Lösung, so können Sie diese durch mehrmaliges Drücken des Buttons vor ermitteln.

Optional können Sie auch alle Daten von Hand eingeben oder die eines Beispieles abändern. Die Beschreibung dazu finden Sie im folgendem Text. Der Reiter Daten dient zur Eingabe und zur Steuerung des Applets.

  • Beispiele: Beim Klicken auf eines der Beispiele werden die Daten für verschiedene Gleichungssysteme übernommen. Das Gleichungssystem wird in den Reitern Gauß-Algorithmus und LU-Zerlegung gesetzt.
  • Darstellung: Bestimmt die Darstellung aller Matrizen und Vektoren.
    • Bruch: Alle Zahlen werden als Brüche dargestellt.
    • Kommazahlen: Alle rationalen Zahlen werden umgewandelt und auf 3 Nachkommastellen gerundet.
      HINWEIS: Unabhängig von der Darstellung wird intern mit rationalen Zahlen gerechnet.
  • Leeres Gleichungssystem erzeugen: Es kann ein Gleichungssystem, das mit Nullen initialisiert wird, erzeugt werden. Die Matrix des Gleichungssystems muss nicht quadratisch sein. Die Anzahl der Spalten der rechten Seite kann auch 0 sein. Wie Sie die Werte der Matrix ändern, finden Sie hier.
    • Zeilen: Zeilendimension der Matrix. Die Anzahl der Zeilen muss größer gleich 1 und kleiner gleich 10 sein.
    • Spalten: Spaltendimension der Matrix. Die Anzahl der Spalten muss größer gleich 1 und kleiner gleich 10 sein.
    • Spalten re. Seite: Spaltendimension der rechten Seite. Die Anzahl der Spalten muss größer gleich 0 und kleiner gleich 10 sein.
    • Erzeugen: Bei Drücken des Buttons wird das Gleichungssystem erzeugt.
  • Pivotisierung:
    • Spalten-Pivotisierung: Die Pivotisierung wird nur in der Spalte durchgeführt.
    • Vollständige Pivotisierung: Die Pivotisierung wird in der gesamten Matrix durchgeführt.
  • Schritt:
    • Vor: Besitzt die Matrix keine obere Dreiecksgestalt, so wird durch Spalten-Pivotisierung (Vollständige-Pivotisierung) die Matrix mit elementaren Zeilenumformungen (und Spaltenumformungen) auf Dreiecksgestalt gebracht. Hat die Matrix Dreiecksgestalt, so kann unter folgenden Voraussetzungen das Gleichungssystem gelöst werden.
      1. Spaltendimension der rechten Seite ist größer gleich 1.
      2. Das Gleichungssystem ist nicht widersprüchlich.
      3. Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar (nur für den Reiter LU-Zerlegung).
      HINWEIS: Alternativ kann auch ein beliebiges zulässiges Element als Pivot-Element gewählt werden. Dies ist möglich über ein Pop-Up Menü , das beim Klicken mit der rechten Maustaste auf die Matrix erscheint.

    • Zurück: Der zuletzt ausgeführte Schritt wird rückgängig gemacht

  • Gauß-Zerlegung: Bringt die Matrix auf eine obere Dreiecksgestalt.
  • Lösen: Bringt die Matrix auf eine obere Dreiecksgestalt und löst anschließend das Gleichungssystem, falls eine Lösung existiert.

Ist eine Matrix oder ein Vektor grün hinterlegt, so kann das Pop-Up Menü geöffnet werden. Wählen Sie dazu einen Eintrag der Matrix (des Vektors) aus und klicken Sie mit der rechten Maustaste.

  • Wert setzen: Wurde noch kein Schritt durchgeführt, so können die Einträge der Matrix (des Vektors) geändert werden.
  • als Pivot Element setzen: Besitzt die Matrix keine obere Dreiecksgestalt, so kann ein beliebiges zulässiges Element als Pivot-Element gewählt werden.
  • vor, zurück: Die Beschreibung finden Sie im Punkt Schritt.

popup

Wurde im Pop-Up Menü Wert setzen gewählt, so erscheint ein Dialog zum Setzen des angezeigten Wertes. Es können ganze Zahlen (z.B.: 5), rationale Zahlen (z.B.: 5/2) und Kommazahlen (z.B.: 2.5) eingegeben werden.

  • << und >> Ermöglichen die Navigation in der Matrix.
  • OK: Beendet die Eingabe.

wertsetzen

Um den Gauß-Algorithmus bei einem Gleichungssystem durchzuführen, wählen Sie den Reiter Gauß-Algorithmus .

  • Obere Dreiecksgestalt: Zuerst muss die Matrix auf eine obere Dreiecksgestalt gebracht werden. Dies geschieht durch elementare Umformungen. Alle Umformungen werden auch auf die rechte Seite angewendet. Wurde Spalten-Pivotisierung gewählt, so werden elementare Zeilenumformungen durchgeführt. Wurde Vollständige Pivotisierung gewählt, so werden elementare Zeilen- und Spaltenumformungen durchgeführt.
  • Erweitern des Gleichungssystem: Wenn das Gleichungssystem zwar lösbar ist, jedoch keine eindeutige Lösung existiert, so wird das Gleichungssystem erweitert.
  • Lösen des Gleichungssystems: Wenn das Gleichungssystem lösbar ist, wird es durch Rückwärtseinsetzen gelöst. Am Ende des Lösens ist die Matrix gleich der Identität und kann so weg gelassen werden.

Um die LU-Zerlegung einer Matrix durchzuführen, wählen Sie den Reiter LU-Zerlegung.
Die LU-Zerlegung wird durch Matrizen dargestellt:
Bei der Spalten-Pivotisierung durch: P1 * L * U.
Bei der Vollständige Pivotisierung durch: P1 * L * U * P2.

P1 ... Permutationsmatrix, welche das Vertauschen der Zeilen speichert.
L ... untere ( l ower) Dreiecksmatrix, welche die Multiplikationsfaktoren speichert.
U ... obere ( u pper) Dreiecksmatrix, Matrix auf welche die elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen angewendet werden.
P1 ... Permutationsmatrix, welche das Vertauschen der Spalten speichert.

  • Obere Dreiecksgestalt: Zuerst muss die Matrix auf eine obere Dreiecksgestalt gebracht werden. Dies geschieht durch elementare Umformungen. Alle Umformungen werden durch die Permutationsmatrizen und die unteren Dreiecksmatrizen gespeichert. Wurde Spalten-Pivotisierung gewählt, so werden elementare Zeilenumformungen durchgeführt. Wurde Vollständige Pivotisierung gewählt, so werden elementare Zeilen- und Spaltenumformungen durchgeführt.
  • Lösen des Gleichungssystem: Wenn das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, werden die inversen Matrizen der LU-Zerlegung auf die rechte Seite angewendet.

Im Reiter Kenngrößen finden Sie die Eigenschaften der Matrix. Die Kenngrößen werden dynamisch berechnet.

  • Dimension: Zeigt die Spalten- und Zeilendimension der Matrix an.
  • Determinante: Ist die Matrix quadratisch, so wird die Determinante berechnet.
  • Rang: Zeigt den Rang der Matrix.
  • Dimension des Kerns: Zeigt die Dimension des Kerns an.
    HINWEIS: Ist die Dimension des Kerns ungleich null, so existiert keine eindeutige Lösung des Gleichungssystems. Soll eine allgemeine Lösung berechnet werden, ist dies nur mit dem Gauß-Algorithmus möglich.
  • Basis des Kerns: Ist die Dimension des Kerns ungleich null, so wird eine Basis des Kerns gezeigt.

Falls Sie weitere Fragen zum Applet haben, uns Hinweise auf Fehler oder Kommentare zukommen lassen wollen, schreiben Sie uns bitte.


Finanziert mit Projektmitteln
der Universität Innsbruck
Abteilung für Neue Medien und Lerntechnologien


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