Univ.-Prof. Dr. Alexander Ostermann

Inhalt: Auf dieser Seite finden Sie das Applet Gauß-Newton und Informationen zu seiner Bedienung. Mit dem Applet können Sie nichtlineare Regressionsmodelle mit verschiedenen Modellspezifikationen berechnen. Sie können die Daten entweder selbst eingegeben oder mit einigen bereitgestellten Datensätzen experimentieren. Falls Sie die Anwendung als Applikation starten, ist es zusätzlich möglich, die Daten aus einer Textdatei zu lesen und in eine Textdatei zu speichern.

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Lernziele:

• Mit nichtlinearen Modellen arbeiten.
• Parameteridentifikation durchführen.
• Vor- und Nachteile verschiedener Optimierungsstrategien kennenlernen.
• Vorgefertigte Beispiele verstehen.
• Eigene Beispiele lösen.

Literatur:

• J. E. Dennis and Robert B. Schnabel: Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations (Classics in Applied Mathematics). Society for Industrial and Applied Mathematics, U.S., Philadelphia, 1996.
• Peter Deuflhard: Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms (Springer Series in Computational Mathematics). Springer, Berlin, 2004.
• Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens (Mathematische Leitfäden). Teubner, Stuttgart, 2006
  

Hier finden Sie Erläuterungen und Quellenangaben zu den im Applet verwendeten Beispieldatensätzen.

• Biometrik
• Rückwärtseinschnitt im Gelände
• Kubisch 2-Dim
• Weißhorn 1
• Weißhorn 2

Falls Sie das erste Mal mit diesem Applet arbeiten, wählen Sie am besten ein Beispiel aus der Listbox Beispiel laden aus. Anschließend drücken Sie den Button Daten übernehmen. Nun können Sie durch mehrmaliges Drücken des Buttons Schritt oder durch einmaliges Drücken des Buttons Lösen die Modellparameter anpassen.

Optional können Sie auch alle Daten von Hand eingeben oder die eines Beispieles abändern. Die Beschreibung dazu finden Sie im folgendem Text.

Funktion

Der Reiter Funktion dient zur Eingabe und zur Steuerung des Applets. Es besteht die Möglichkeit, ein ein- oder mehrdimensionales Modell einzugeben.

• Datenbeispiele: Beim Klicken auf eines der Beispiele werden die Daten in die Tabelle übernommen und das Modell geladen.
• Funktion 1-Dim: Eindimensionale Modelle und deren Spezifikationen können im Reiter 1-Dim definiert werden.
  • abhängige Variable: Die abhängige Variable des Datensatzes.
  • Modell: Gleichung, die mittels unabhängigen Variablen und Parametern die abhängige Variable erklärt.
  • Parameter: Parameter des Modells, durch Komma getrennt (z.B.: t1,t2,t3).
  • Startpunkt(e): Startpunkte für die Parameter, durch Komma getrennt (z.B.: 0.1,2,-3)
  • Daten übernehmen: Um Änderung im Modell bzw. der Modellspezifikation zu übernehmen drücken Sie stets den Button Daten übernehmen

• Funktion n-Dim: Mehrdimensionale Modelle und deren Spezifikationen können im Reiter n-Dim definiert werden. Gesucht wird ein Minimum des Modells bezüglich der euklidischen Norm.
  • Modell: Gleichung, die mittels unabhängigen Variablen und Parametern das Modell beschreibt.
  • Hinzufügen: Durch Drücken des Buttons wird die Dimension des Modells erhöht.
  • Löschen: Durch Drücken des Buttons wird die letzte Zeile des Modells gelöscht.
  • Parameter: Parameter des Modells, durch Komma getrennt (z.B.: t1,t2,t3).
  • Startpunkt(e): Startpunkte für die Parameter, durch Komma getrennt (z.B.: 0.1,2,-3)
  • Daten übernehmen: Um Änderung im Modell bzw. der Modellspezifikation zu übernehmen drücken Sie stets den Button Daten übernehmen

• Schritt: Führt einen Gauß-Newton Schritt durch.
• Lösen: Iteriert, bis die maximale Anzahl an Iterationen erreicht ist oder das Inkrement des Gauß-Newton Verfahren kleiner als die gewünschte Toleranz ist.

Daten

• Datenmatrix erzeugen: Geben Sie in den Feldern Anzahl Variablen und Datensätze die Anzahl der Variablen und die Anzahl der Datensätze (Anzahl der Beobachtungen) Ihres Datenbeispiels ein. Nach dem Drücken von Erzeuge wird eine leere Matrix erzeugt, in der Sie Ihre Daten eingeben können.
• Datenmatrix erweitern
  • Zeile Hinzufügen: Durch Drücken des Buttons wird eine Zeile in der Tabelle hinzufügen.
  • Zeile Löschen: Durch Drücken des Buttons wird die letzte Zeile der Tabelle gelöscht.
• Datei (Applikation): Wird die lineare Regression als Applikation gestartet, so können Sie zusätzlich mit dem Button Laden Daten aus einer Textdatei laden. Mit dem Button Speichern können Sie die aktuelle Datenmatrix in eine Textdatei abspeichern.

Beispiel einer Textdatei: Biometrik1.txt

Optionen

• Toleranz: Genauigkeit der Berechnung (z.B.: 1e-9).
• max. Iterationen: Maximale Anzahl an Iterationen (z.B.: 90) beim Lösen.
• Liniensuche: Falls aktiviert, wird zusätzlich in jedem Iterationsschritt eine Liniensuche durchgeführt (siehe Dennis und Schnabel Seite 325, Algorithm A6.3.1).
• Art des Plots: Die Plots werden im Reiter Plot angezeigt.
  • ||f|| Zeichnet die euklidische Norm der Funktion.
  • Defekt: Zeichnet die euklidische Norm des Gauß-Newton Inkrements.
  • Funktion: Zeichnet die Funktion falls ein eindimensionale Funktion als Modell verwendet wird.

Report

Es werden Informationen zu jedem Gauß-Newton Schritt ausgegeben.

• Fx Norm: euklidische Norm der Funktion.
• Dx Norm: euklidische Norm des Gauß-Newton Inkrements.
• t: Werte der Parameter.

Falls die Liniensuche aktiviert ist, werden zusätzlich folgende Informationen ausgegeben:

• foldNorm + alpha * lambda * initslope: Armijo-Goldstein Bedingung (siehe Dennis und Schnabel)
• lambda: Skalierung der Schrittlänge. Wird ausgegeben, falls ein voller Gauß-Newton Schritt die Armijo-Goldstein Bedingung nicht erfüllt.

Fragen

Falls sie weitere Fragen zum Applet haben, uns Hinweise auf Fehler oder Kommentare zukommen lassen wollen, schreiben sie uns bitte.

 

Finanziert mit Projektmitteln
der Universität Innsbruck
Abteilung für Neue Medien und Lerntechnologien