Univ.-Prof. Dr. Alexander Ostermann

Inhalt: Auf dieser Seite finden Sie das Applet Schießverfahren und Informationen zu seiner Bedienung.

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Falls Sie das erste Mal mit diesem Applet arbeiten, wählen Sie am besten ein Beispiel aus der Listbox aus. Zum Übernehmen der Daten drücken Sie stets den Button Daten übernehmen. Anschließend wird nach Drücken des Button Lösen das Problem iterativ gelöst.

Optional können Sie auch alle Daten von Hand eingeben, oder die eines Beispieles abändern. Die Beschreibung dazu finden Sie im folgendem Text.

Differentialgleichung definieren

Wenn Sie eine Differentialgleichung definiert haben, können Sie die Daten in eines der beiden Verfahren übernehmen.
Um die Daten in das Einzielverfahren zu übernehmen, klicken Sie zuerst auf den Reiter Einzielverfahren und anschließend auf Daten übernehmen.
Um die Daten in das Mehrzielverfahren zu übernehmen, klicken Sie zuerst auf den Reiter Mehrzielverfahren und anschließend auf Daten übernehmen.
Sind die Daten erfolgreich übernommen, so werden die Randwerte im Graph eingezeichnet.

Hinweise:

1. Für das Suchen einer periodischen Lösung von einer Differentialgleichung steht nur das Einzielverfahren zur Verfügung.
2. Ist der Reiter Achsen aktiviert, so werden keine Daten in eines der Verfahren übernommen.
3. Hier finden Sie nähere Informationen zur Eingabe von Funktionen.
4. Informationen zur Eingabe der Differentialgleichungen finden Sie auch auf der Startseite des Reiters Report.

RWA 2.Ordnung

Mit diesem Reiter haben Sie die Möglichkeit, eine Randwertaufgabe zweiter Ordnung zu definieren.

• DGL Definieren

Geben Sie hier die Differentialgleichung für y(t) in der Form y''(t) = f(t,y,z) ein, wobei z:=y'.

• Randwerte Definieren

Geben Sie hier das Intervall [a,b] ein, in dem die Differentialgleichung gelöst werden soll.
Zum Zeitpunkt a müssen Sie einen Randwert, sowie eine Schätzung für die Ableitung eingeben (y(a),y'(a)).
Zum Zeitpunkt b müssen Sie abschließend noch einen Randwert y(b) eingeben.

• Beispiele

Es stehen fertige Beispiele zur Verfügung, die entweder mit dem Einziel- oder Mehrzielverfahren lösbar sind.

RWA System 2.Ordnung

Mit diesem Reiter haben Sie die Möglichkeit, ein System von zwei Randwertaufgaben zweiter Ordnung zu definieren.

• DGL Definieren

Geben Sie hier die Differentialgleichungen für y(t) und u(t) in der Form y''(t) = f(t,y,z,u,v) und u''(t) = g(t,y,z,u,v) ein, wobei z:=y' und v :=u'.

• Randwerte Definieren

Geben Sie hier das Intervall [a,b] ein, in dem die Differentialgleichungen gelöst werden sollen.
Zum Zeitpunkt a müssen Sie für jede der beiden Differentialgleichungen einen Randwert, sowie eine Schätzung für die Ableitung eingeben (y(a),y'(a)) bzw. (u(a),u'(a)).
Zum Zeitpunkt b müssen Sie abschließend noch für jede Differentialgleichung einen Randwert eingeben y(b) bzw. u(b).

• Beispiele

Es stehen fertige Beispiele zur Verfügung, die entweder mit dem Einziel- oder Mehrzielverfahren lösbar sind.

RWA mit freiem Rand

Mit diesem Reiter haben Sie die Möglichkeit, eine Randwertaufgabe zweiter Ordnung mit freiem Rand b zu definieren.

• DGL Definieren

Geben Sie hier die Differentialgleichung für y(t) in der Form y''(t) = f(t,y,z) ein, wobei z:=y'.

• Randwerte Definieren

Geben Sie hier eine Schätzung des Intervalls [a,b] ein, in dem die Differentialgleichung gelöst werden soll.
Zum Zeitpunkt a müssen Sie einen Randwert und eine Schätzung für die Ableitung eingeben (y(a),y'(a)).
Zum Zeitpunkt b müssen Sie abschließend noch einen Randwert sowie die Ableitung eingeben (y(b),y'(b)).

• Beispiele

Es stehen fertige Beispiele zur Verfügung, die entweder mit dem Einziel- oder Mehrzielverfahren lösbar sind.

Hinweis: Konvergiert eines der Verfahren, so wird das Intervallende b im Reiter Report angezeigt.

Periode suchen

Mit diesem Reiter haben Sie die Möglichkeit, periodische Lösungen eines Systems von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung zu suchen.
Für diese Anwendung steht nur das Einzielverfahren zur Verfügung.

• DGL Definieren

Geben Sie hier die Differentialgleichungen für y(t), z(t) in der Form y'(t) = f(t,y,z) und z'(t) = g(t,y,z) ein.

• Randwerte Definieren

Geben Sie hier ein (Zeit)Intervall [a,b] ein, wobei a ein fest gewählter Startzeitpunkt ist und b der geschätzte Endzeitpunkt (somit b-a = T die geschätzte Periodendauer).
Zum Zeitpunkt a müssen Sie eine Schätzung der Startwerte eingeben (y(a),z(a)).

• Beispiele

Es stehen fertige Beispiele zur Verfügung, die mit dem Einzielverfahren lösbar sind.

Hinweis: Konvergiert das Einzielverfahren, so wird die gefundene Periodendauer T = b-a im Reiter Report angezeigt.

Verfahren

Zur Auswahl stehen ein Einzielverfahren und ein Mehrzielverfahren. Beide sind analog zu bedienen.

 Einzielverfahren
Um das Einzielverfahren zu aktivieren, klicken sie auf den Reiter Einzielverfahren und anschließend auf den Button Daten übernehmen.

• Optionen:

Eingabe der Toleranz, mit der die numerischen Verfahren arbeiten.
Aktivierungsmöglichkeit der Lambda Strategie, um das Konvergenzverhalten bei "ungünstigen" Startwert zu verbessern.

• Startwerte:

Werte der gesuchten Funktion(en) am Intervallanfang.

• Steuerung:
  • Schuss: Löst die Differentialgleichungen numerisch über das ganze Intervall und fügt das Ergebnis zu den Graphen.
  • Iteration: Führt eine Iteration durch.
  • Lösen: Versucht die Randwertaufgabe zu lösen. Konvergiert das Verfahren, so wird der Graph rot gezeichnet.

 Mehrzielverfahren
Um das Mehrzielverfahren zu aktivieren, klicken sie auf den Reiter Mehrzielverfahren und anschließend auf den Button Daten übernehmen.

• Optionen:

Eingabe der Toleranz, mit der die numerischen Verfahren arbeiten.
Eingabe der Anzahl der Teilintervalle, in welche das Intervall [a,b] äquidistant unterteilt wird.
Aktivierungsmöglichkeit der Lambda Strategie, um das Konvergenzverhalten bei "ungünstigen" Startwert zu verbessern.

• Startwerte:

Werte der gesuchten Funktion(en) am Intervallanfang.

• Steuerung:
  • Schuss: löst die Differentialgleichungen numerisch über das ganze Intervall und fügt das Ergebnis zu den Graphen.
  • Iteration: Führt eine Iteration durch.
  • Lösen: Versucht die Randwertaufgabe zu lösen. Konvergiert das Verfahren, so wird der Graph rot gezeichnet.

 Alternativ
ist es auch möglich, die Starttangente mit der Maus zu verändern. Dazu bewegen Sie den Mausszeiger in die Nähe der Spitze der Starttangente und klicken mit der linken Maustaste. Nun ist es Ihnen möglich, die Starttangente nach Belieben zu Verändern. Mit einem weiteren Mausklick wird die Starttangente fixiert.
So können Sie versuchen, die optimale "Schussrichtung" zu finden. Wird der Endpunkt getroffen, so wird der Graph rot eingezeichnet.

Fragen

Falls sie weitere Fragen zum Applet haben, uns Hinweise auf Fehler oder Kommentare zukommen lassen wollen, schreiben sie uns bitte.

 

Finanziert mit Projektmitteln
der Universität Innsbruck
Abteilung für Neue Medien und Lerntechnologien